viernes, 5 de mayo de 2017

Estadística.Medidas de centralización y posición.Moda.Media.Rango.Varianza.


ESTADÍSTICA

1.Hacer estadística

Necesidad.

Al poner en práctica una medida social para saber su aceptación. ¿A cuántas personas puede ir dirigida?, ¿cuáles son los distintos niveles?. Frente a una iniciativa como esta, preguntar a toda la población puede agotar los recursos destinados a ella, una encuesta previa puede ahorrarnos algún que otro equívoco.

Población y muestra
Cuando se hace un estudio estadístico el investigador decide si analizará toda la población o una muestra elegida previamente.
Población es el conjunto de individuos, con alguna característica común, sobre el que se hace un estudio estadístico.

La muestra es un subconjunto de la población. Debe elegirse de forma que sea representativa de toda la población en la característica estudiada.

Atributos y variablesCada una de las propiedades o características que podemos estudiar es una variable estadística. Dependiendo de los posibles valores que puedan tomar se clasifican en:





  • Variables cualitativas o atributos. Los valores de la variable no son números sino cualidades, se expresan con palabras.El color, la forma, el sexo,...son ejemplos de variables cualitativas.
  • Variables cuantitativas. Los datos se expresan numéricamente y pueden ser:

    • Discretas. Cada una de las variables solo puede tomar valores enteros (1, 2, 3...). 
      El nº de hermanos, el nº ventanas de casa, el nº colegios de tu población,...
    • Continuas. Pueden tomar cualquier valor de un intervalo dado.Nuestro peso, altura, fuerza, no es posible medirlas con números enteros, la densidad del aire, la velocidad media de los fórmula 1 en una carrera,..

    2.Tablas y gráficos
    Recuento de datos.Es parte del proceso, después de recopilar los datos se procede a su recuento para expresarlos de forma ordenada y para que sea más fácil trabajar con ellos. Generalmente se elabora una tabla como en la simulación de la derecha donde puedes practicar.
    • Frecuencia absoluta, es el nº de veces que aparece un dato. A la de xi la llamaremos fi.
    • Frecuencia relativa, es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nº total de datos.
    • Frecuencia acumulada de un dato, es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que él, la indicaremos con Fi.
      También se pueden calcular las frecuencias relativas acumuladas.
    Diagramas de barras y de sectores
    Los datos estadísticos suelen representarse de forma gráfica, ya que de esta forma podemos hacernos una idea de su distribución de un solo golpe de vista. En función del tipo de variable conviene más usar un tipo de gráfico u otro.
    • Diagrama de sectores, puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque es el más adecuado en variables cualitativas y para una primera toma de contacto con los valores de una población. Es un círculo dividido en sectores de ángulo proporcional a la frecuencia de cada valor. La amplitud de cada sector se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 360º.
    • Diagrama de barras. También puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque se considera el idóneo para variables discretas. Cada valor se corresponde con una barra de longitud proporcional a su frecuencia.

    Agrupación de datos en intervalosEn variables continuas, o en discretas cuando el número de datos distintos se hace casi tan grande como el número de datos, y para poder estudiarlos, se hace necesario agruparlos enintervalos o clases, habitualmente de la misma amplitud y como mínimo 4.Por ejemplo, en una población hay casi tantas alturas como individuos pero podemos agruparlos en bajos, medios y altos; también podríamos hacer bajos, medios-bajos, medios-altos y altos, o clasificarlos de 10 en 10 cm, o de 20 en 20...
    • Para representar a todos los datos de un intervalo elegimos un valor, el punto medio del intervalo, se llama marca de clase.
    Cuando los datos vienen agrupados en intervalos se usa para representarlos gráficamente elhistograma. Cada valor se representa con un rectángulo de anchura el intervalo correspondiente y con la altura proporcional a su frecuencia. 


    3. Medidas de centralización y posición
    La media
    Todos los alumnos saben que con un 6 y un 4 tienen de media 5. Pues la media en estadística no es otra cosa que eso, solo que, habitualmente, con más datos.
    Para calcular la media si son pocos los datos, se suman todos y se divide entre el número total. Si son muchos, los tendremos agrupados, entonces se suman los productos de cada dato por su frecuencia absoluta y se divide esta suma por el número total de datos. Se indica con x.



    La moda
    ¿Quién no ha oído alguna vez: "Está de moda ir a...""Se lleva este tipo de pantalón, está de moda", o "Se ha puesto de moda el grupo"..., y todo el mundo entiende que hay una buena cantidad de personas en esas opciones. Así pues, el valor que más frecuencia tenga será"el de moda", aunque puede ocurrir que haya más de uno.


    La modaMo, de una distribución estadística es el valor de la variable que más se repite, el de mayor frecuencia absoluta.

    La mediana y los cuartiles 
    La mediana y los cuartiles, como la media aritmética, sólo se pueden calcular cuando la variable es cuantitativa.

    La medianaMe, es el valor que ocupa la posición central una vez ordenados los datos en orden creciente, es decir, el valor que es mayor que el 50% y menor que el otro 50%.

    La mediana divide la distribución en dos partes con igual nº de datos, si la dividimos en cuatro partes obtenemos los cuartiles, 1º, 2º y 3º, que se indican respectivamente Q1Q2 y Q3.
    Ordenados los datos, el primer cuartil, es mayor que el 25% de estos; el tercer cuartil, mayor que el 75%, y el segundo coincide con la mediana.


    4. Medidas de dispersión

    Rango y Desviación media

    Las medidas de dispersión indican si los datos están más o menos agrupados respecto de las medidas de centralización.
    • Rango o recorrido, es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable, indica la longitud del intervalo en el que se hallan todos los datos.
    Aunque el rango da una información importante, resulta más interesante calcular cuánto se desvían en promedio los datos de la media.
    Desviación media, es la media de los valores absolutos de las diferencias entre la media y los diferentes datos.



    Varianza y desviación típica

    Es otra forma de medir si los datos están o no próximos a la media y es la más utilizada.

    • La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones.
    • La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza.


    Es importante que entiendas el significado de estas medidas, cuanto mayores sean más dispersos estarán los datos.

    Los intervalos alrededor de la media de amplitud 2 o 4 veces la desviación típica, tienen mucha importancia en estadística por el porcentaje de datos que hay en ellos. En el último punto de la escena puedes observar esto.


    Coeficiente de variación
    Es el cociente entre la desviación típica y la media, se utiliza para comparar las dispersiones de datos de distinta media.Por ejemplo, para 4 y 6, CV=1/5=0,2 y para 101 y 99 es CV=1/100=0.01. En ambos casos la desviación típica es la misma, pero en relación a la media es más importante en el primero. 

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    jueves, 20 de abril de 2017

    La evolución población.Natalidad.Crecimiento.Estructura.


    La población evolución

    1. Introducción. La evolución de la población

    La distribución de la población, su crecimiento, etc. no ha sido igual a lo largo de la historia. El descubrimiento de la agricultura o el aprovechamiento de la ganadería, fueron hechos que a lo largo de la prehistoria permitieron al ser humano obtener cadavez una mayor cantidad de alimentos. Esto provocó un enorme aumento de la población a nivel mundial, que permitió "asegurar" la subsistencia de la raza humana.

    Hasta el siglo XIX, el crecimiento de la población se mantuvo en cierto modo "equilibrado", hasta la llegada de la Revolución Industrial. Los nuevos avances médicos y el desarrollo económico experimentado por la mayoría de los países europeos contribuyeron al crecimiento de la población.



    Pero será en el siglo XX, cuando se produzca una auténtica explosión demográfica, sobre todo en los países subdesarrollados, donde la población experimenta un aumento constante. Se calcula que, al final de este siglo, la Tierra duplicará el número actual de habitantes, alcanzando la cifra de 12.000 millones de personas. Aquí dejo un interesantevídeo sobre la evolución de la población desde el inicio de nuestra era que te hará reflexionar sobre el exagerado ritmo de crecimiento de población que está sufriendo el planeta tierra.


    2. La distribución de la población

    2.1. Los habitantes del planeta y su distribución

    Entendemos por población, como el conjunto de personas que habitan un territorio. Actualmente se calcula que una población mundial de casi siete mil millones de habitantes. Ahora bien, estos están repartidos de manera muy desigual:
    • Europa: es un continente pequeño pero muy poblado. Sobre todo países como Inglaterra, Francia, Italia o Alemania.
    • América: continente poco poblado; las mayores concentraciones de población están en grandes ciudades de Brasil, Argentina y EE.UU.
    • África: tiene zonas muy pobladas (área del valle del Nilo) y otras muy despobladas (selvas y desiertos).
    • Asia: es el continente más poblado. La gente se concentra en grandes ciudades de Japón y China que se convierten en verdaderos "hormigueros" de gente.
    • Zonas poco pobladas (1-10 hab/km2): suelen ser zonas de climas extremos situadas lejos del océano, en el interior de los continentes o separadas del mar por montañas.
    • Zonas de vacío demográfico (menos de 1 hab/km2): suelen ser zonas desérticas, selvas o superficies heladas (Antártida).


    Fuente: Wikipedia

    2.2. Factores de distribución de la población

    La distribución de la población, ofrece numerosos contrastes; esto se debe a una serie de condicionantes:

    - Factores Físicos
    • Clima: las temperaturas y precipitaciones deben ser adecuadas para el cultivo y el desarrollo de la vida (la aridez, la humedad excesiva, temperaturas elevadas, etc. dificultan la vida).
    • Relieve: las zonas planas favorecen las comunicaciones y actividades agrícolas.
    • Suelos: deben ser fértiles y aptos para el desarrollo de la agricultura y ganadería.
    • Agua y recursos minerales.
    - Factores Humanos
    • Históricos: la mayoría de las ciudades se ubica en el lugar que determinaron los acontecimientos pasados. Grandes hechos históricos como el descubrimiento de América, la trata de esclavos, etc. son factores que han condicionado asentamientos a lo largo de la historia.
    • Políticos: guerras, aparición y desaparición de países, fronteras, etc.
    • Económicos: es el factor humano fundamental que da lugar a la desigual distribución de la población. Las zonas desarrolladas económicamente y con recursos, atraen  a población de áreas menos desarrolladas para mejoras sus condiciones de vida.

    Aquí dejo la primera parte de un vídeo sobre la distribución espacial y el crecimiento de la población mundial especialmente en el último siglo, las causas y sobre todo, las consecuencias que tendrá a corto plazo.



    3. Movimientos naturales de la población

    3.1. La Natalidad

    La natalidad es el número de nacimientos que se producen entre la población de un lugar a lo largo de un año. Se expresa en tantos por mi (%0) y para calcularla se emplea la siguiente fórmula:

    Tasa de Natalidad (TN) =    Nº de nacimientos en un año y lugar     x 1000
                                                                      Población Total

    Por otro lado, la tasa de fecundidad es el número de nacimientos que se producen en un año entre mujeres con edad fértil (15 a 49 años) en un lugar concreto. Se expresa en tantos por mi (%0)  y para calcularla está la siguiente fórmula:

    Tasa de Fecundidad =   Nº de nacimientos en un año y lugar     x 1000
                                                   Nº de mujeres de 15 a 49 años

    3.2. La Mortalidad

    La mortalidad es el número de defunciones que se registran en una población a lo largo de un año. Se expresa en tantos por mi (%0) y para calcularla se usan dos fórmulas:

    Tasa de Mortalidad (TM) =     Nº de defunciones en un año y lugar     x 1000
                                                                           Población Total

    Tasa de Mortalidad = Nº defunciones menores de 1 año año y lugar  x 1000
            Infantil (TMi)         Nº de nacimientos en el mismo año y lugar

    Por otro lado, la Esperanza de vida es el número medio de años que se espera que viva una persona que acaba de nacer en un lugar concreto. Ésta será mayor en los países desarrollados y menor en los países pobres.


    3.3. El crecimiento natural o vegetativo

    El crecimiento natural (CN) o crecimiento vegetativo es la diferencia entre el número de nacimientos y de defunciones en una población y en un momento concreto:
    • mayor número de nacimientos = crecimiento +
    • mayor número de defunciones = crecimiento -
    • igual número de nacimientos y defunciones = crecimiento 0
    Para obtener la Tasa de crecimiento natural (TCN) expresada en tantos por cien (%) podemos emplear dos fórmulas:
    • TCN= Tasa de Natalidad -Tasa de Mortalidad
    • TCN =      Crecimiento natural        x 100
                           Población Total

    A continuación os dejo un enlace a una página web muy interesante, donde podéis ver sobre un mapa los índices de población, natalidad, mortalidad, etc. tiene todo tipo de datos, incluso la tasa de virus VIH por habitante, el número de líneas móviles por habitante y territorio... Es una web muy completa y que os puede dar una imagen del mundo a través de datos curiosos.

    Por otro lado, pinchando sobre la siguiente imagen, os conducirá a la página librosvivos.net en la que podréis ampliar aun más toda esta información.


    3.4. El modelo de transición demográfica

    La evolución de la población ha atravesado diferentes fases a lo largo de la historia:

    a) Fase inicial (hasta el siglo XVIII)

    Esta fase caracteriza por:
    • Un crecimiento de la población muy lento: la esperanza de vida no superaba los 40 años.
    • La elevada natalidad : eran necesarios muchos nacimientos ya que la mortalidad infantil era muy elevada.
    • La alta mortalidad: las guerras, epidemias, sequías, el hambre... provocaba muchas muertes.

    b) Fase de transición (siglo XIX)

    Las características de esta fase serán:
    • Un crecimiento de la población reducido: la esperanza de vida aumenta ligeramente.
    • Una elevada natalidad : cada vez mueren menos niños, provocando un aumento de la población; esto dio lugar a la emigración de muchos europeos hacia América (sobre todo), Asia y África.
    • Descenso de la mortalidad: la Revolución Industrial y los avances en cultivos tajo consigo un aumento de los alimentos, la higiene, la saludo = menosmuertes.

    c) Fase evolucionada y de regresión (siglo XX)

    En este caso, podemos distinguir entre:

    -Países Ricos
    • La mayoría presentan un crecimiento natural negativo.
    • Un descenso de la natalidad debido, entre otras cosas mejores condicionesde vida, mayor consumo, dificultad para mantener hijos y encontrar trabajo...
    • Un descenso de la mortalidad gracias a los avances de la medicina y a una mejor alimentación.
    -Países pobres
    • En este caso, el crecimiento natural es débil (similar al de la fase de transición).
    • La natalidad muy alta: debido, por ejemplo, a la falta de métodos anticonceptivos).
    • Una mortalidad elevada, a causa de enfermedades, epidemias, hambre, etc.
    Dejo a continuación una gráfica muy parecida a la que teníamos en el libro, en la que se aprecia cada una de las fases de evolución que hemos ido viendo:

    Fuente: kalipedia.com


    4. La estructura de la población

    a) Estructura de la población por edad

    Según la edad, la población puede agruparse en tres grandes conjuntos:
    • Jóvenes (de 0 a 14 años)
    • Adultos (de 15 a 64 años)
    • Ancianos (65 años o más)
    Si la mayoría son jóvenes, será una población joven; en cambio si hay mayoría de ancianos, será una población envejecida.

    b) Estructura de población por sexo

    Presenta un resultado ciertamente desequilibrado:
    • Hombres = más número pero menos esperanza de vida.
    • Mujeres = menos numerosas pero más esperanza de vida.
    De este modo, en un principio nacen más hombres (se estima que por cada 100 mujeres nacen 107 varones), pero luego la estructura se equilibra debido a la mayor esperanza de vida de las mujeres.

    c) Estructura de población por actividad laboral

    En este caso, podemos distinguir entre:
    • Población activa (en edad de trabajar): población ocupada y parada o desocupada
    • Población inactiva (que no puede trabajar): como menores de edad y jubilados, (o que no tienen una actividad remunerada) como personas dedicadas a las labores de casa, estudiantes...
    d) Estructura de población por nivel de estudios

    La población también puede clasificarse según el grado de alfabetización; así pues:
    • Países desarrollados = Índice de alfabetización elevado (+ del 90%)
    • Países pobres = Índice de alfabetización bajo ( - del 50 %)


    5. La población en España

    5.1. La distribución territorial de la población

    Hoy día, España tiene aproximadamente 45,2 millones de habitantes y una densidad media de población de 88,3 hab./km2. Ésta se agrupa en dos grandes conjuntos:
    • Áreas densamente pobladas: Periferia  +  Madrid, Barcelona y País Vasco (+ de 300 hab./km2) +  Baleares y Canarias  +  mayoría de las capitales de provincia.
    • Áreas escasamente pobladas: Interior  + Zonas rurales y montañosas (Soria o Teruel tienen menos de 10 hab./km2)
    A continuación dejo un par de imágenes en las que se pueden apreciar las áreas y provincias más densamente pobladas.

    Fuente: Wikispaces

    5.2. Características de la población española

    Población española = fase evolucionada = estancamiento y envejecimiento progresivo de la población.

    a) La natalidad

    Causas del descenso de natalidad (en España la natalidad es del 9,1 %0 aprox.)
    • País desarrollado = mejores condiciones de vida (consumo) = menos nacimientos.
    • Emancipación de los hijos cada vez más tarde.
    • Vida en pareja más tardía por: dificulta




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    martes, 11 de abril de 2017

    Funciones y gráficas.Tablas valores.Crecimiento y decrecimiento.Máximos mínimos.Periodicidad

     Funciones y gráficas

     Relaciones funcionales
    Concepto y tabla de valores 

    Una función es una relación de causa-efecto entre dos cantidades matemáticas: a iguales causas, iguales efectos.

    La causa se denomina variable independiente y se denota con la letra x. El efecto es la variable dependiente, que se indica con la letra y.

    Frecuentemente, en lugar de la letra y se utiliza la expresión f(x) (o g(x), ...) para dar a entender que y efectivamentedepende del valor de x.

    1. Relaciones funcionales
    Gráfica de una función
    Para obtener la gráfica de una función a partir de la tabla de valores primero se dibujan unos ejes de coordenadas, representándose los valores de la variable independiente (x) en el eje horizontal (abscisas) y los de la variable dependiente (y) en el vertical (ordenadas).
     
    Cada pareja de valores de las variables dependiente e independiente se representa mediante un punto (x,y) en el sistema de coordenadas.
     
    Los puntos dibujados se unirán si la variable independiente puede tomar cualquier valor real en el rango estudiado: la línea (recta o curva) que resulta es la gráfica de la función.

    Imagen y antiimagen 

    Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es laimagen de x y también que x es laantiimagen de y.

    Es fácil hallar imágenes y antiimágenes viendo la gráfica de la relación funcional. Así se puede reproducir la tabla de valores a partir de la gráfica de la función.

    Expresión algebraica 
    Se trata de una fórmula que permite obtener el valor de y cuando se sabe el valor de xrealizando operaciones algebraicas. Es, por lo tanto, una manera de obtener imágenes de valores de la variable independiente sin tener que recurrir a la gráfica de la función.
    Es sencillo obtener la tabla de valores de una función a partir de su expresión algebraica o analítica: no hay más que ir dando valores a x y calcular los valores de ycorrespondientes. Así los tres elementos de una relación funcional (tabla de valores, gráfica y expresión algebraica) están interconectados.

    Cuando se conoce la expresión algebraica de una función también se pueden obtener analíticamente las antiimágenes de un valor de y resolviendo una ecuación.

    Relaciones que no son funcionales 
    En una relación funcional un valor de x sólo debe tener, como máximo, una imagen. No puede ser que una causa dé dos efectos diferentes.

    En cambio, un mismo efecto puede proceder de diversas causas: un valor de y puede tener más de una antiimagen, o no tener ninguna.

    Las relaciones estadísticas son situaciones en las que, aunque no se puede predecir exactamente cuál será la imagen de un valor de x (no son, por lo tanto, relaciones funcionales), sí que se puede dar una estimación de este valor.





    2. Características de una función
    Dominio y recorrido 

    El dominio de una función es el conjunto de valores de x que tienen imagen.

    El recorrido o imagen es el conjunto de valores de y que son imagen de algún valor de x perteneciente al dominio.

    Continuidad 

    A veces, la gráfica de una función puede dar un salto en vertical en algún punto de su dominio. En ese punto se dice que la función no es continua.

    Por lo tanto, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin necesidad de levantar el lápiz del papel en ningún momento.

    Los puntos donde la gráfica da un salto se denominan discontinuidades de la función.

    Puntos de corte con los ejes 
    El punto donde la gráfica corta el eje deordenadas es de la forma (0,y0), donde y0es la imagen de 0.
    El punto (o los puntos) de corte con el eje de abscisas son de la forma (x0,0), dondex0 es la antiimagen (o antiimágenes) de 0.

    • Para encontrar y0 se hace x=0 en la expresión de la función y se calcula y.
    • Para hallar x0 se sustituye y por 0 en la expresión de la función y se aisla x.

    Si el cero está en el dominio de la función, entonces hay punto de corte con el eje de ordenadas y este es único. Habrá punto de corte con el eje de abscisas si el cero está en el recorrido de la función, en ese caso puede suceder que haya más de uno.


    Crecimiento y decrecimiento 
    Se dice que una función es creciente en un punto si, alrededor de ese punto, cuando la xaumenta también aumenta la y.

    Y será decreciente si al aumentar la xdisminuye el valor de y.

    Si una función es creciente en un punto entonces, alrededor de él, la gráfica, vista de izquierda a derecha, asciende. Si desciende, es que es decreciente. Si la función toma el mismo valor alrededor de un punto (la gráfica se mantiene sin subir ni bajar), entonces se dice que allí la función es constante.

    Una función puede ser creciente en un conjunto de puntos de su dominio y decreciente en otros. Si sólo crece o sólo decrece entonces se denomina funciónmonótona.



    Máximos y mínimos 


    Un máximo local (o relativo) es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Ese punto no tiene por qué ser el punto más alto de la gráfica de la función. Este último (si es que existe) se denominamáximo absoluto.
    De manera similar, en un punto donde la función pasa de decrecer a crecer se dice que hay un mínimo local. El punto del dominio donde la imagen es menor se denomina mínimo absoluto.
    Una función puede tener más de un máximo o más de un mínimo locales.


    Periodicidad 



    A veces la gráfica de una función va repitiendo el mismo dibujo una y otra vez a medida que la x va aumentando. En este caso se dice que la función es periódica.


    La longitud, medida sobre el eje horizontal, del dibujo que se va repitiendo se denominaperíodo: cada vez que a un valor cualquiera de x se le suma el período se vuelve a obtener la misma imagen.





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